>>8
いろいろ式をいじってみたけど解けなかった。解ける漸化式じゃないんだと思う。
でも途中式にきれいな形のが出てきたから一応貼ってみる。

とりあえず、Δa[n] = a[n+1] - a[n] = -a[n]^2/2 と差分の形で書き、
差分を微分にすりかえて挙動を見てみると、da/dn = -a^2/2 から a = 2/(n+1) 。
なので a[n]は 1/n くらいになっている。

これを手掛かりに、b[n] = 2/a[n] - 1 と置換してみると、
b[n+1] = b[n] + 1/b[n] + 1 と、ちょっときれいな形になった。（b[1]=1）

b[n+1] = (√b[n] + 1/√b[n])^2 - 1 と変形できるので、
√b[n] + 1/√b[n] = cosh(φ[n]) と置換してみると、
b[n+1] = sinh(φ[n])、 cosh(φ[n+1]) = cosh^2(φ[n])/sinh(φ[n]) 。
f(φ) = 1/cosh(φ) と置くと、f(φ[n+1]) = -f '(φ[n]) という関係になっていた。

厳密解を諦めて a[n] の値を評価してみると、2/(n + 1 + log n) くらいになっていそう。