ある繰り返しの試行について以下の条件がつきます
１．１回目は必ず成功する
２．１回成功するとそれ以降の成功確率はそれまでの1/2になる

この試行をn回繰り返した時、成功回数の期待値を求めたいのですが

n回目の平均成功確率をa_nとしたとき期待値はΣ[k=1,n]a_k
a_1=1
a_(n+1)=a_n-(a_n)^2/2

までは求まったのですがここからが分かりません
この続きまたは別のエレガントな解を教えてもらえるでしょうか