x+(1/x)=3，y+(1/y)=5のとき

xy+(1/xy) の値を求めよ。
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対称性を保ちつつ、足したり書けたりして、
xyは、「x+y」 「xy」のかたちでしか出現しないようにして・・・
という、
まあありがちなやり方でとけるのかな・・・・と思ったが、
うまいこといかない。。

しかたなく、xとyをもとめてしまうと・・・・

x=(3±√(5)/2
y=(5±√21)/2

なので、xとyの組み合わせは４種類あり、以下の通り。
x=「（3+√5)/2」、y=「(5+√21)/2」・・・①
x=「（3+√5)/2」、y=「(5-√21)/2」・・・②
x=「（3-√5)/2」、y=「(5+√21)/2」・・・③
x=「（3-√5)/2」、y=「(5-√21)/2」・・・④

①のとき、
xy={ （3+√5)(5+√21) } /4 =(15+3√21+5√5+√105)/4
・・・だめだ・・・
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で、変態的なやりかたで解いたのですが、これ、あってますでしょうか？

http://www.rupan.net/uploader/download/1265735670.jpg

あるいは、もっとまともな解き方ないでしょうか？