>>287 の方法より >>288 (積和)のほうでやってみます。

sin4θcos2θ = {sin(4θ+2θ)+sin(4θ-2θ)}/2 = (sin6θ+sin2θ)/2
より

∫[0,(π/2)](sin4θcos2θ)dθ = (1/2)*∫[0,(π/2)] (sin6θ + sin2θ) dθ

=(1/2)[-(1/6)cos6θ - (1/2)cos2θ] 0,π/2
=(1/2){(1/6 + 1/2) - -(1/6) - (1/2)}
∴ 2/3

あってますよね

でおk？