解答がないので、答え合わせをお願いします。

問い
円C:(x-1)^(2)+y^2=1/4 上の任意の点をP、曲線y=e^x上の任意の点をQとする
このとき、線分PQの長さの最小値を求めよ

解答
直線PQがy=e^xと直交し、かつ点(1,0)を通るとき線分PQの長さは最小
P(t,e^t)とすると、点Pにおける曲線の法線ベクトルは(1,e^t)
よって点Pにおける法線の方程式は(x-t)+e^(t)(y-e^t)=0
これが点(1,0)を通ればよいので1-t-e^(2t)=0
ゆえにt=0であるから点Pの座標はP(0,1)
Cの中心をOとすると線分OPの長さは√2
よって線分PQの最小の長さは√2-(1/4)

これで正しいでしょうか？