すみません、考え方で間違っている所があれば指摘していただけないでしょうか？

「有限部分集合全体」ということは、たとえば、1〜nまでの有限な部分集合から考えたとき、
その要素の個数はn^2個で有限になる。 →よって ℵ0 にならない。