>>260
(m,n) は最大公約数？
ユークリッドの互除法（の拡張）から、am+bn=(m,n)=1 となる整数 a,b が存在する。
この a を使って、a^k を両辺に掛けてやれば、第1項は a^k m^k = (1-bn)^k となり、n で割った余りは1。
他の項は全て n で割り切れ、左辺と右辺は nで割った余りが食い違うから等号不成立。

この手の話を詳しく知りたいなら「合同式」や「剰余環」や「有限体」で検索するといろいろ出てくる。