>>123
x∈σ(A∩B) ならば
ρ(x,A)≦ρ(x,A∩B)＜ρ(x,Y＼(A∩B))=ρ(x,Y∩(A∩B)^c)=ρ(x,(Y∩A^c)∪(Y∩B^c))
≦ρ(x,(Y∩A^c))=ρ(x,Y＼A)
よって x∈σ(A)
同様に x∈σ(B) だから σ(A∩B) ⊂ σ(A)∩σ(B)

A⊂Y だから
min { ρ(x,A∩B), ρ(x,Y＼B) } ≦ min { ρ(x,A∩B), ρ(x,A＼B) } = ρ(x,A)
A∩B⊂A と合わせると ρ(x,A∩B)=ρ(x,A) または ρ(x,Y＼B)≦ρ(x,A)
同様にρ(x,A∩B)=ρ(x,B) または ρ(x,Y＼A)≦ρ(x,B)
x∈σ(A)∩σ(B) とすると ρ(x,A)＜ρ(x,Y＼A) および ρ(x,B)＜ρ(x,Y＼B)
なので min { ρ(x,A), ρ(x,B) } = ρ(x,A∩B)
これと x∈σ(A)∩σ(B) から
ρ(x,A∩B)=min { ρ(x,A), ρ(x,B) }
＜min { ρ(x,Y＼A), ρ(x,Y＼B) } = ρ(x,(Y＼A)∪(Y＼B))=ρ(x,Y＼(A∩B))
よって x∈σ(A∩B)
すなわち σ(A)∩σ(B) ⊂ σ(A∩B)

以上からσ(A)∩σ(B) ＝ σ(A∩B)