命題
K を複素数体とする。
U ⊂ K^n を開集合とし、f: U → K を関数とする。
f(z) = P(z) + iQ(z) とする。

f が c ∈ U で微分可能であるためには
P と Q が c で微分可能で各 i に対して
(∂P/∂x_i)(c) = (∂Q/∂y_i)(c)
(∂P/∂y_i)(c) = -(∂Q/∂x_i)(c)
となることが必要十分である。

証明
必要性：
f が微分可能であるとする。
df(c): K^n → K は線型写像である。
df(c)(z_1, . . ., z_n) = γ_1z_1 + . . . + γ_nz_n とする。
γ_i = α_i + √(-1)β_i, i = 1, ..., n とおく。
u = (u_1, ..., u_n) ∈ K^n を |u| が十分小さい元とし、
u_i = h_i + k_i√(-1) とおく。

df(c)(u) = Σγ_iu_i = Σ(α_i + √(-1)β_i)(h_i + √(-1)k_i)
= Σ(α_ih_i - β_ik_i) + √(-1)Σ(β_ih_i + α_ik_i)

f(c + u) - f(c) - df(c)u
= P(c + u) - P(c) - Σ(α_ih_i - β_ik_i)
+ √(-1)(Q(c + u) - Q(c) - Σ(β_ih_i + α_ik_i))

(続く)