命題
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とし、f: U → K を U 上の複素数値関数とする。
f(z) = P(x, y) + Q(x, y)i とする。
ここで、z = x + iy で P, Q は U 上の実数値関数である。

f が c ∈ U で微分可能(過去スレ016の35)であるためには
P と Q がそれぞれ c で微分可能で
Cauchy-Riemannの関係式(過去スレ016の482)
(∂P/∂x)(c) = (∂Q/∂y)(c)
(∂P/∂y)(c) = -(∂Q/∂x)(c)
を満たすことが必要十分である。

証明
必要性は過去スレ016の482で証明されている。

P と Q がそれぞれ c で微分可能で
Cauchy-Riemannの関係式を満たすとする。

(∂P/∂x)(c) = α、(∂Q/∂x)(c) = β とおく。
Cauchy-Riemannの関係式より、
(∂P/∂y)(c) = -β
(∂Q/∂y)(c) = α
である。

(続く)