補題
K を複素数体とする。
a ∈ K と r ＞ 0 の対して C = ∂D(a, r) (過去スレ016の602) とおく。

このとき、U(a, r) (過去スレ016の601) の任意の点 c に対して、
∫[C] 1/(ζ - c) dζ = 2πi

証明
過去スレ016の599と過去スレ016の609より明らかであるが別証を与える。

|c - a| ＜ r_1 ＜ r となる r_1 ＞ 0 をとる。

ζ ∈ |C| のとき、|(c - a)/(ζ - a)| ＜ r_1/r ＜ 1
よって、Σ((c - a)/(ζ - a))^n は 1/(1 - (c - a)/(ζ - a)) に収束する。
よって、
1/(ζ - c)
= (1/(ζ - a))(1/(1 - (c - a)/(ζ - a)))
= Σ(c - a)^n/(ζ - a)^(n+1)

ここで、Σ|(c - a)^n/(ζ - a)^(n+1)| ≦ (1/r)Σ(r_1/r )^n ＜ +∞
よって、Σ(c - a)^n/(ζ - a)^(n+1) は |C| で一様収束する。
過去スレ016の563より、
∫[C] 1/(ζ - z) dζ = Σ∫[C] (c - a)^n/(ζ - a)^(n+1) dζ

n = 0 のとき過去スレ016の609より、
∫[C] (c - a)^n/(ζ - a)^(n+1) dζ = ∫[C] 1/(ζ - a) dζ = 2πi

n ＞ 0 のとき (c - a)^n/(ζ - a)^(n+1) は原始関数をもつから
過去スレ016の549より、∫[C] (c - a)^n/(ζ - a)^(n+1) dζ = 0

よって、∫[C] 1/(ζ - a) dζ = 2πi
証明終