例
A を可換環とする。
n ≧ 1 を整数とする。
GL_n(A) を A を成分にもつ可逆な (n, n)-行列全体のなす群とする。

f: A → B を可換環の射とする。
(a_(i, j)) ∈ GL_n(A) に対して (f(a_(i, j))) ∈ GL_n(B) である。
よって群の射 GL_n(f): GL_n(A) → GL_n(B) が得られる。
よって、CRngを小さい可換環全体のなす圏とし、Grp を小さい群全体のなす圏とすると
関手 GL_n: CRng → Grp が得られる。

GL_1(A) = A^* である。
ここで、A^* は A の乗法の可逆元全体のなす群である。

α ∈ GL_n(A) に det(α) ∈ A^* を対応させる写像
det: GL_n(A) → A^* は Grp の射である。

f: A → B を可換環の射とすると次の図式は可換である。

GL_n(A) → A^*
　↓　　　　↓
GL_n(B) → B^*

ここで上下の射は det であり、左の縦の射は GL_n(f) であり、
右の縦の射は GL_1(f) である。

よって、det は関手 GL_n から関手 GL_1 への自然変換である。