命題(>>43の別証(Titchmarsh: the theory of functions))
K を複素数体とする。
a を K の点とし、0 ＜ R ＜ +∞ となる R に対して
f: U(a, R) → K を解析関数とする。
M = sup{|f(z)|; z ∈ U(a, R)} ＜ +∞ とする。
Cauchyの評価式(>>22)または平均値の定理(>>26)より、|f(a)| ≦ M である。

このとき、|f(a)| = M であれば f は定数である。

証明
0 ＜ r ＜ R ＜ +∞ となる r に対して
平均値の定理(>>26)より、
f(a) = (1/2π)∫[0, 2π] f(a + r exp(iθ)) dθ
よって、
M = |f(a)| ≦ (1/2π)∫[0, 2π] |f(a + r exp(iθ))| dθ ≦ M
よって、(1/2π)∫[0, 2π] |f(a + r exp(iθ))| dθ = M

よって、M - |f(a + r exp(iθ))|) ≧ 0 かつ、
(1/2π)∫[0, 2π] (M - |f(a + r exp(iθ))|) dθ = 0

よって、全ての θ ∈ [0, 2π] で |f(a + r exp(iθ))| = M
r は任意だから U(a, R) において |f(z)| = M である。

(続く)