命題
K を複素数体とする。
a ∈ K, R ＞ 0 に対して、f: U(a, R) → K を解析関数とする。
>>35より、f(z) = Σc_n(z - a)^n と書ける。

このとき、0 ＜ r ＜ R となる任意の r に対して
Σ|c_n|^2 r^(2n) = (1/2π)∫[0, 2π] |f(a + rexp(iθ))|^2 dθ

証明
区間 [0, 2π] から K への連続関数全体を E とする。
<f, g> = (1/2π)∫[0, 2π] f(θ)g(θ)~ dθ と定義する。
ここで、g(θ)~ は g(θ) の複素共役である。
E は <, > に関して K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)になる。
f(a + rexp(iθ)) = Σc_n r^n exp(niθ) である。
過去スレ016の272より、|z| = r のとき、Σc_nz^n は一様収束
よって、Σc_n r^n exp(niθ) は [0, 2π] において一様収束する。

よって、
<f(a + rexp(iθ)), exp(niθ)>
= (1/2π)∫[0, 2π] f(a + rexp(iθ))exp(-niθ) dθ
= Σc_m (1/2π)∫[0, 2π] r^m exp((m - n)iθ) dθ
= c_nr^n
よって、
f(a + rexp(iθ))
= Σc_n r^n exp(niθ)
= Σ<f(a + rexp(iθ)), exp(niθ)>exp(niθ)

この右辺は [0, 2π] で一様かつ絶対収束する。
よって、>>40より、ノルム | |_2 に関して総和可能(過去スレ006の147)である。
よって、Parseval の等式(過去スレ014の167)より、
|c_n|^2 r^(2n) = (1/2π)∫[0, 2π] |f(a + rexp(iθ))|^2 dθ
証明終