命題
A を可換環とする。
S を A[[X_1, ..., X_n]] の加法群の部分加群とする。
任意の同次多項式 f_k ≠ 0 ∈ A[X_1, ..., X_n] に対して
f ∈ S で f_k = init(f) (>>230) となるものが存在するとする。

このとき、S は A[[X_1, ..., X_n]] で稠密である。

証明
f を A[[X_1, ..., X_n]] の任意の元とする。
ord(f - f^(i)) ≧ i (i = 0, 1, 2, ...) となる f^(i) ∈ S が
存在することを証明しよう。
そうすれば S は A[[X_1, ..., X_n]] で稠密である。

i に関する帰納法による。
i = 0 のときは f^(i) = 0 とすればよい。
k ≧ 1 として、ord(f - f^(k-1)) ≧ k - 1 となる f^(k-1) ∈ S が
存在すると仮定する。

ord(f - f^(k-1)) ≧ k なら f^k = f^(k-1) とおけばよい。
ord(f - f^(k-1)) = k - 1 とする。
g_(k-1) = init(ord(f - f^(k-1))) とおく。
h_(k-1) を S の元で h_(k-1) = init(g_(k-1)) とする。
f^(k) = f^(k-1) + h_(k-1) とおく。
f^(k) ∈ S である。

このとき、
ord(f - f^k) = ord(f - f^(k-1) - h_(k-1)) ≧ k
証明終