命題(三角形に関するCauchyの定理(過去スレ016の616)の拡張)
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とする。
c を U の点とし、f: U → K を連続関数で U - {c} 上で微分可能とする。
Δ を有向閉三角形(>>614)とし、|Δ| (過去スレ016の614) ⊂ U とする。

このとき、∫[∂Δ] f(z) dz = 0

証明
Δ = Δ(z_1, z_2, z_3) (過去スレ016の614) とする。

|Δ| ⊂ U - {c} の場合は、過去スレ016の616より ∫[∂Δ] f(z) dz = 0 である。

c が Δ に含まれる場合は、
∫[∂Δ] f(z) dz
= ∫[c, z_1, z_2, c] f(z) dz
+ ∫[c, z_2, z_3, c] f(z) dz
+ ∫[c, z_3, z_1, c] f(z) dz
である。

よって、c が Δ の頂点の一つである場合に
∫[∂Δ] f(z) dz = 0 を証明すればよい。

c = z_1 と仮定して一般性を失わない。
a ∈ |[z_1, z_2]|
b ∈ |[z_1, z_3]|
a ≠ z_1
b ≠ z_1
のとき、
∫[∂Δ] f(z) dz = ∫[z_1, a, b, z_1] f(z) dz + ∫[a, z_2, z_3, b, a] f(z) dz

(続く)