命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
r ∈ (R++)^n とする。

このとき、任意の f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) (>>122) と
任意の x ∈ U(0, r) (>>89) に対して、
|f(x)| ≦ |f|_r となる。
よって、f ∈ A_r(K^n, E) (>>122) に f(x) ∈ E を対応させる写像は
連続な線型写像である。

証明
f → f(x) が線型写像であることは明らかである。

|f(x)| = |Σa_αx^α| ≦ Σ|a_α|r^α = |f|_r
よって、f → f(x) は連続である。
証明終