>>161の事実を使う場合があるので証明する。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。

このとき、任意の r ∈ (R++)^n に対して、A_r(K^n, E) (>>122) は
| |_r に関して K 上の Banach空間である。

証明
>>163より、A_r(K^n, E) は | |_r に関して
K 上のノルム空間(過去スレ006の561)である。
よって、A_r(K^n, E) が | |_r に関して完備であることを証明すればよい。

(f_n), n = 1, 2, ... を A_r(K^n, E) の Cauchy列とする。
f_n = Σc_(n, α)X^α とする。
任意の ε ＞ 0 に対して m ≧ 1 があり、i, j ≧ m なら
|f_i - f_j|_r ＜ ε である。

各 α ∈ (Z+)^n に対して
|c_(i, α) - c_(j, α)|r^α
≦ Σ|c_(i, α) - c_(j, α)|r^α
= |f_i - f_j|_r ＜ ε

よって、
|c_(i, α) - c_(j, α)| ＜ ε/r^α

よって、(c_(n, α)), n = 1, 2, ... は E におけるCauchy列である。
E は完備だから c_α = lim c_(n, α) が存在する。
f = Σc_αX^α とおく。

(続く)