命題(過去スレ016の304の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) とする。
C(f) (>>124) から E への写像 f~ を f~(x) = f(x) により定義する。

任意の i, j ∈ {1, ..., n} と任意の p ∈ C(f) に対して
(∂_i)(∂_j)f~(p) と (∂_j)(∂_i)f~(p) が存在し、
(∂_i)(∂_j)f~(p) = (∂_j)(∂_i)f~(p) となる。

証明
>>143より、任意の i ∈ {1, ..., n} に対して (∂_i)f~(p) = (∂_i)f(p) である。
>>147より、(∂_i)f は E{{X_1, ..., X_n}} の元である。
よって、任意の j ∈ {1, ..., n} に対して (∂_j)(∂_i)f~(p) が存在し、
(∂_j)(∂_i)f~(p) = (∂_j)(∂_i)f(p) となる。

一方、>>144より、(∂_i)(∂_j)f = (∂_j)(∂_i)f である。
よって、(∂_i)(∂_j)f~(p) = (∂_j)(∂_i)f~(p) となる。
証明終