補題(Abelの補題(過去スレ006の271)の拡張)
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)をもつ完備な可換体とする。
E を K 上の完備なノルム空間とする。
f = Σc_αX^α ∈ E[[X_1, ..., X_n]] (>>105)とし、
ある r = (r_1, ... , r_n) ∈ (R++)^n に対して、
M = sup{|c_α|r^α; α ∈ (Z++)^n} ＜ ∞ とする。

このとき、ρ_i ＜ r_i となる任意の ρ = (ρ_1, ... , ρ_n) ∈ (R++)^n に対して
f(x) = Σc_αx^α は B(0, ρ) (>>89) 上で一様に絶対総和可能(>>110)かつ
一様に総和可能(>>107)である。

証明
x ∈ B(0, ρ) に対して |c_αx^α| ≦ |c_α|ρ^α ≦ M(ρ/r)^α
ここで、ρ/r = (ρ_1/r_1, ... , ρ_n/r_n) である。

過去スレ006の269より、ΣM(ρ/r)^α の任意の有限和は有界である。
よって、過去スレ006の52より、ΣM(ρ/r)^α は総和可能(過去スレ006の147)である。
E は完備であるから、Weierstrassの優級数定理(>>113)より、
f(x) = Σc_αx^α は B(0, ρ) 上で一様に絶対総和可能かつ
一様に総和可能である。
証明終