蛇足のような気もするが
f(x,y)-f(a,b)を表わす式を途中でcosθを割っているので
cosθ=0の場合を考えていないことになる。
これがf(x,y)-f(a,b)の符号が一定であるがどうかに関係するのは
f(x,y)-f(a,b)=(r^2/2)[A(cosθ)^2+2B(cosθ)(sinθ)+C(sinθ)^2]+o(r^2)
が連続なので、cosθ=0のときのf(x,y)-f(a,b)値がを加えることで
符号が一定にならないのはf(x,y)-f(a,b)=0つまりC=0の場合となる。
f(x,y)-f(a,b)が定符号になるのはB^2-AC＜0だったからこれは条件に影響しない。

A=0,B=0,C=0のときはさらに高次のテーラー展開を考える必要がある。