最終的には２つの２次曲線の交点を求めるソルバー関数の作成です。
高校数学の用語で言えば、問題のように２元２次連立方程式の解法でその一般解法です。
射影も考えると常に交点は４つあるんですが、そこまで厳密な解法の一般化は不要です。