(1+2k)^4=1+4(2k)+6(2k)^2+4(2k)^3+(2k)^4から
≡1+8k(1+3k) (mod 2^4)
となるのはどうしてなのでしょうか?

1+4(2k)+6(2k)^2+4(2k)^3+(2k)^4=1+8k(1+2k(k+1)^2)と変形でき,
これが1+8k(1+3k)と2^4を法として合同になる事が分かりません。