>>4
Rの部分集合S1は有界なので適当なm1,M1∈Rを選ぶと
∀s1 ∈S1に対して m1 ≦ s1 ≦ M1

同様に
適当なm2,M2∈Rを選ぶと
∀s2 ∈S2に対して m2 ≦ s2 ≦ M2

m = min{m1,m2}
M = max{M1,M2}
とすれば
∀s ∈ S1∪S2 に対して m ≦ s ≦Mで,
S1∪S2も有界