導関数の符号の調べ方について教えてください

0<x<π/2において
f(x)=sinx+tanx-axが極値を持つようなaの範囲を求めよ

という問題で
f'(x)=cosx-a+1/(cosx)^2=[{(cosx)^3}+1-a(cosx)^2] /(cosx)^2であり
g(x)=[{(cosx)^3}+1-a(cosx)^2] とおくと、f'(x)とg(x)の符号は等しい。
したがってg(x)が符号変化するようなaの範囲を求めればよい。
g'(x)=-3cosxsinx+2acosxsinx=cosxsinx(2a-3cosx)
となるのですが、この方針だとg'(x)を計算してもg'(x)の符号がぱっとは見えなくて
あまりいい考えだとは思えません。

一方g(x)なんてとらずにf''(x)を素直に計算すると
f''(x)=sinx(2-cos^3x)/(cos^3x)>0となり
f'(x)は単調増加。f'(0)=2-aとx→π/2-0の極限からa>2であればOK
とすぐにわかります。

この問題のように直接2回微分して求めていく問題と
"h(t)=2tlogt/(t^2-1) (t>1)は単調減少することを示せ" という問題のように
正の部分を分離して符号変化部分だけを取り出して
そこだけを微分して考えていくという問題ってどうやって見極めたらいいでしょうか?
ある程度量を解いてるとわかってくる話なんでしょうか?