>>581　全然違うアプローチだが。
単位円周上の点A(cosα、sinα)、B(cosβ、sinβ)の中点Mの座標が
(1/6、1/4)だということである。したがって、原点をOとしてMを通り
OMに直交する直線と単位円との交点がA、Bであり、半径OA、OBが
x軸正方向となす角がα、βである(cos(α-β)=cos(β-α)だから
A、Bが入れ替わっても一般性を失わない)

求める値はcos∠AOB=cos(2*∠AOM)である。
AO=1、OM=(√13)/12だからcos∠AOM=(√13)/12。
したがって求める値は2*{(√13)/12｝＾2-1=13/72-1=-59/72

値としてはこれでよいと思うのだが。