>>5
x^2+y^2=1は、座標平面上の原点を中心とする半径1の円を表す。(この円をCとする)
x+y=kは、y軸上の点(0,k)を通り傾き-1の直線を表す。（この直線をLとする）
円Cと直線Lが共有点を持つようにLを動かすとき、LとCが第一象限で接するときkは最大となり、そのときk=√2
よって、x+y≦√2


a↑=(1,1)、x↑=(x,y)とすると、a↑・x↑=x+y。・は内積を表す。
点(x,y)は原点を中心とする半径1の円周上にあり、|x↑|=1。
よって、a↑・x↑はx=(cos45°,sin45°)のとき最大値を取り、その時x+y=√2
よって、x+y≦√2


x+y=kという値をとるとすると、y=k-x―(1) かつ x^2+y^2=1―(2) を満たす実数x,yが存在する。
(1)を(2)に代入すると、2(x^2)-2kx+k^2-1=0 ―(3)
(3)の判別式をDとすると、求める条件はD≧0 ⇔ -√2≦k≦√2
よって、x+y≦√2