>>618
勘違いしてました。
代数的閉「体」ですね。帯ではなく。

>>621
つまり、一般のベクトルは、A = (a, b)と実数の組で表されて、
ベクトルの和と実数倍では、x軸とy軸を入れ替えられない
複素数も、虚数の積を考えないと、実部と虚部が入れ替えられない
そういう意味で、複素数と二次元ベクトルは一緒、ということですね。

お互い、×i と、回転を考えない限りは同一ということで、
じゃあ、「i^2 = 1」を通常の虚数単位の代わりにしていい、というのは確かにそのとおりで
（i×iが意味をなさない以上、虚数単位をi^2 = -1にしようが、i^2=1にしようが、ωにしようが）
和と実数倍以外で移り変わらなければ、何を使ってもいいと。

逆に言うと、そういう意味で、ωとiは同時に使えない（ωは実数と i の和と実数倍で表せるから）ということですか。
３次元のとき、３つ要るのはよく分からなくなってきましたが…。

一次変換というのは初めて聞きましたが、
行列を勉強したとき、回転を表す、と言って、三角関数の行列を習いました。
それと×iというのが繋がってるんですか？　ひょっとして、ド・モアブルの定理と関係がありますか？
三角関数の回転行列にπを入れたのと、虚数をかけるのが一致するのかな？
ちょっと計算してみます。