複素数と二次元ベクトルの関係について質問です。

高校で、複素数をガウス平面上に書き、二次元ベクトルと同等に扱うことが出来ると習いましたが、
二次元ベクトルは x と y が独立なのに対し、複素数は i^2 = -1　と、実数と虚数に関連があります。
そういう変わった数を、普通の二次元ベクトルと同様に扱っていいものかという疑問を持ってます。
また、二次元ベクトルとして使うに限って、i^2 = 1(ただし、i =! 1)という仮の数を入れてはダメなのか、というのも疑問です。

高校の先生が言うには、
０．まず、複素数（虚数）は、二次以上の方程式の根を表しきるために導入された（代数的閉帯？）から、
　　その意味で、i^2 = -1じゃないとダメ
１．二次元ベクトルと複素数は一緒のもの。
　　実数のように、それだけで四則演算が完結してるものに、新しい単位 i を加えると、
　　それは二次の拡大帯？という二次元ベクトルと一緒のものになる。
２．実際にそれを幾何で使うと便利。
　　i^2 = 1を導入してもいいけど、複素数最大のメリットである、×i = 90°回転がなくなる。
　　そうすると360°表現するのに、反転（×-1）を入れないといけないので、不便？

０は理解しましたが、
１は、１の三乗根ωを入れても、３次元ベクトルにならないらしいですし、
i と ωの二つを入れても「それは従属（独立じゃない）だから…」という理由で３次元にならないようです。
（三つの虚数単位と、一つの関係式を導入して、初めて３次元になるそうですが、よく分かりませんでした）
２については、先生自体、
「便利だから複素数をそのまま使ってるだけ。通常の二次元ベクトルも座標を回転させればxとyは入れ替わる。それが×i」
という解釈には「もっと深い意味があるかも」と自信がないらしく、詳しい人に聞いてくれといわれました。

先生以上に詳しい人は知らないので、ここで聞きますが、
上記の２はあってますか？
あと、１もよろしかったら詳しく教えてください。