>>882, >>889, >>890
x'(0)≠0 の結果になるのはスルーしていいんでしょうか？
与えた初期条件(x'(0)=0) と異なっています。

微小な時間εの時点で撃力を加える事にすれば、
D(t) = α・δ(t-ε) となり、結局ただのグラフの水平移動によって
t＜εのとき、x(t) = 0
t≧εのとき、x(t) = α/ω・sin(ω(t-ε))
を得ます。この式なら初期条件を満足します。
この種の問題ではこうした(無限小の?)εを暗黙に仮定していると思えばいいのでしょうか？