>>860
xを『定義域』(この場合は実数)の中で動かした時に yが取りうる値の範囲が『値域』です
y=(2x+1)/(x^2+x+1)=(2x+1)/((x+1/2)^2+3/4)
分子より分母が大きいので、x→±∞ で y→0
かつ分母が0になる事はないので、y は有界だと判る。
次にyをxで微分する。
y'={(2x+1)'(x^2+x+1)-(2x+1)(x^2+x+1)'}/(x^2+x+1)^2
= ( -2x^2 -2x + 1 )/(x^2+x+1)^2
= (-2(x+1/2)^2+3/2 )/(x^2+x+1)^2
= -2*(x+1/2+√(3)/2)(x+1/2-√(3)/2)/(x^2+x+1)^2
連続かつ微分可能な関数yは、最大か最小地点で、y'=0 となるので
x=-1/2-√(3)/2 の時
y=(-√(3)/2)/(3/4+3/4)　=　-1/√3
x=-1/2+√(3)/2 の時
y=(+√(3)/2)/(3/4+3/4)　=　+1/√3
厳密には、そこが変曲点(y''=0) ではない確かめる必要があるが、
前者が最小値、後者が最大値を与える事は明らか。

>>yがある値をとるということはxについての方程式
>>yx^2+(y-2)x+y-1=0が実数解をもつことと同値である
ああそうだねってレベルだけど、この問題には何の関係もない。
問題集にそんな記述が載ってたのなら、その本は捨てた方がいい。
学校指定の教科書ならご愁傷様です。。。