授業で先生がx=C1e^(iωt)+C2e^(-iωt)をオイラーの公式で展開して実部を出すと
x=C1cos(ωt)+C2sin(ωt)になると書いたのですがなぜこうなるのでしょうか？C1,C2は積分定数です

確認のために計算してみたのですが、展開して実部だけの式を出すと
x=C1cos(ωt)+C2cos(ωt)となりました。どうして上記のようになるのか不思議で困っています。
どなたかお願いします。ちなみにこの式は力学の振動問題における微分方程式を解く過程のものです。
数学的内容なのでここで質問させていただきました。