>>637
|z-1|<2のとき
Σ[n=0,∞]{(z-1)^(n-1)+(z-1)^n}/{{(-1)^n}2^(n+1)}
= 1/(2(z-1))
+ Σ[n=1,∞] (-1)^n 2^(-n-1) (z-1)^(n-1)
+ Σ[n=0,∞] (-1)^n 2^(-n-1) (z-1)^n

において右辺２行目のnをn+1と置き換える（和を取る変数を変換する）と
= 1/(2(z-1))
- Σ[n=0,∞] (-1)^n 2^(-n-2) (z-1)^n
+ Σ[n=0,∞] (-1)^n 2^(-n-1) (z-1)^n
= 1/(2(z-1)) + Σ[n=0,∞] (-1)^n ( -2^(-n-2)+ 2^(-n-1)) (z-1)^n

ちゃんと (z-1)^n でまとまるが？（途中で放置するけど係数はちゃんと整理してね）