定義
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)をもつ可換体とする。
E_1, ..., E_n および F を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
E = (E_1)×...×(E_n) とおく。

f を E の点 p の近傍で定義された F に値をとる写像とする。
1 ≦ i_1, ..., i_m ≦ n となる任意の整数 i_1, ..., i_m に対して
f の高階偏微分 d_(i_1)...d_(i_m)f(p) ∈ L(E_(i_1),...,E_(i_m); F)
を次のように帰納的に定義する。

d_(i_2)...d_(i_m)f(x) が p の近傍で存在するとする。
d_(i_1)...d_(i_m)f(p) を次の式で定義する。

d_(i_1)...d_(i_m)f(p)(h_1, ..., h_m)
= (d_(i_1)(d_(i_2)...d_(i_m)f)(p)(h_1))(h_2, ..., h_m)

ここで、h_k ∈ E_(i_k), k = 1, ..., m