命題
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)をもつ可換体とする。
E_i (1 ≦ i ≦ n) と F を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
E = (E_1)×...×(E_n) とおく。

U を E の開集合とし、p = (p_1, ..., p_n) ∈ U とする。
f: U → F を写像とする。
f が p で微分可能(>>35)とする。

このとき、任意の h_i ∈ E_i に対して、
(d_i)f(p)(h_i) = df(p)(0, ..., h_i, ..., 0) となる。
ここで、(d_i)f(p) は f の p における第 i 番目の偏微分(>>82)である。

証明
写像 g_i : E_i → E を
g_i(x) = (p_1, ..., x_i, ..., p_n) により定義する。

h_i ∈ E_i のとき、
g_i(p_i + h_i) - g_i(p_i) = (0, ..., h_i, ..., 0)
よって、
d(g_i)(p_i)(h_i) = (0, ..., h_i, ..., 0)

g_i は連続であるから p_i の開近傍 V_i を小さくとり、g_i(V_i) ⊂ U と出来る。
記述を簡単にするため g_i|V_i を同じ g_i で表すことにする。
すると、fg_i は V_i から F への写像である。

合成写像の微分(>>58)より d(fg_i)(p_i) が存在するが、
(d_i)f(p) の定義(>>82)から d(fg_i)(p_i) = (d_i)f(p) である。

合成写像の微分(>>58)より、h_i ∈ E_i のとき、
(d_i)f(p)(h_i) = df(g_i(p_i))dg_i(p_i)(h_i) = df(p)(0, ..., h_i, ..., 0)
証明終