命題(Leibnizの公式)
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)をもつ可換体とする。
E, F_i (1 ≦ i ≦ n), G を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。

F = (F_1)×...×(F_n) とおく。

u: F → G を連続な多重線型写像とする。
U を E の開集合とし、p ∈ U とする。

f_i: U → F_i (1 ≦ i ≦ n)を写像とする。
各 i で f_i が p で微分可能であるとする。

写像 g: U → G を g(x) = u(f_1(x), ..., f_n(x)) で定義する。

このとき、dg(p) が存在し、任意の h ∈ E に対して、
dg(p)(h) = Σu(f_1(p_1), ..., df_i(p)(h), ..., f_n(p_n))

証明
f: U → F を f(x) = (f_1(x), ..., f_n(x)) で定義する。

>>73より、任意の h ∈ E に対して、
df(p)(h) = (df_1(p)(h), ..., df_n(p)(h))

合成写像の微分(>>58)より
dg(p) = du(f(p))df(p)

よって、任意の h ∈ E に対して、
dg(p)(h) = du(f(p))(df_1(p)(h), ..., df_n(p)(h))

>>78より、
dg(p)(h) = Σu(f_1(p_1), ..., df_i(p)(h), ..., f_n(p_n))
証明終