過去スレ015の625を再度改めて述べる。

定理(正規型常微分方程式の解の存在と一意性および初期値に関する C^k 級性)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
R を実数体とする。
Ω を R×E の開集合とする。
f: Ω → E を C^k 級(1 ≦ k ≦ ∞)の写像とする。

(t_0, x_0) を Ω の任意の点とする。

このとき (t_0, x_0) の開近傍 J×V ⊂ Ω
及び C^k 級写像 g: J×V → E で次の条件をみたすものが一意に存在する。
ここで、J は開区間であり、V はそれぞれ E の開集合である。

a) g(J×V) ⊂ Ω
b) 任意の x ∈ V に対して g(t_0, x) = x
c) 任意の x ∈ V に対して写像 t → g(t, x) は
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t)) の J における解である。

証明
f(t, x) と (d_2)f(t, x) は (t_0, x_0) で連続であるから
(t_0, x_0) の開近傍 I×U ⊂ Ω があり、両者は I×U 上で有界である。
ここで、I は t_0 を含む開区間であり、U は x_0 の開近傍である。

よって、C ＞ 0 があり I×U の各点 (t, x) で
|(d_2)f(t, x)| ≦ C

(続く)