命題
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)をもつ可換体とする。
E および F_i (1 ≦ i ≦ n) を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
F = (F_1)×...×(F_n) とおく。
F は K 上のノルム空間である(>>72)。

U を E の開集合とし、p ∈ U とする。
f_i: U → F_i (1 ≦ i ≦ n)を写像とする。

f: U → F を f(x) = (f_1(x), ..., f_n(x)) で定義する。

このとき、f が p で微分可能であるためには、各 i で f_i が
p で微分可能であることが必要十分である。

このとき、任意の h ∈ E に対して、
df(p)(h) = (df_1(p)(h), ..., df_n(p)(h))
となる。

証明
必要性：
df(p) が存在すると仮定する。

各 i (1 ≦ i ≦ n) に対して、p_i: F → F_i を射影とする。
T_i = (p_i)df(p) とおく。
T_i ∈ L(E, F_i) である。

h を E の元で 0 に十分近いとする。

f(p + h) - f(p) - df(p)(h)
= (f_i(p + h) - f_i(p) - T_i(h)), i = 1, ..., n

(続く)