命題
K を必ずしも可換とは限らない体で自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)を
もつとする。
E_i (1 ≦ i ≦ n) を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。

E = (E_1)×...×(E_n) とおく。
E は線型空間としての直積である。

x = (x_1, ..., x_n) ∈ E に対して
|x| = (|x_1|^2 + ... + |x_n|^2)^(1/2) とおく。

このとき、|x| は E のノルムである。

証明
x = (x_1, ..., x_n) と y = (y_1, ..., y_n) を E の元とする。

|x + y| = (|x_1 + y_1|^2 + ... + |x_n + y_n|^2)^(1/2)
≦ ((|x_1| + |y_1|)^2 + .. + (|x_n| + |y_n|)^2)^(1/2)

(|x_1|, ..., |x_n|) と (|y_1|, ..., |y_n|) は
ユークリッド空間 R^n の元と見なせる。
よって、ユークリッド空間における三角不等式から
((|x_1| + |y_1|)^2 + .. + (|x_n| + |y_n|)^2)^(1/2)
≦ (|x_1|^2 + ... + |x_n|^2)^(1/2) + (|y_1|^2 + ... + |y_n|^2)^(1/2)

よって、
|x + y| ≦ |x| + |y|
証明終