補題
K を実数体または複素数体とする。
I = [a, b] を実数体 R における有限閉区間とし、
a = t_0 ＜ t_1 ＜ . . . ＜ t_n = b を [a, b] の分点とする。
f: I → K と g: I → K を連続関数で I - {t_0, t_1, . . ., t_n} の各点で
微分可能とする。
さらに、I - {t_0, t_1, . . ., t_n} の各点 t で f’(t) = f(t)g’(t) とする。

このとき、c ∈ K があり、I の各点 t で f(t) = c exp(g(t)) である。

証明
h(t) = f(t)exp(-g(t)) とおく。
I - {t_0, t_1, . . ., t_n} の各点 t で
h’(t) = f’(t)exp(-g(t)) - f(t)g’(t)exp(-g(t))
= exp(-g(t))(f’(t) - f(t)g’(t)) = 0

よって、>>592より、各小区間 [t_(i-1), t_i] で h(t) は定数である。
h(t) は I 上で連続であるから I 上で定数 c である。
よって、I の各点 t で c = f(t)exp(-g(t))
よって、I の各点 t で f(t) = c exp(g(t)) である。
証明終