命題
K を実数体または複素数体とする。
F を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
U ⊂ F を開集合とする。
ψ_1: [a, b] → U と ψ_2: [c, d] → U を
C^1 級のパラメータ付き曲線(>>485)とする。
L_1 および L_2 をそれぞれ ψ_1 と ψ_2 の長さ(>>553)とする。

ψ_1 ≡ ψ_2 のとき(>>487)、L_1 = L_2 である。

証明
ψ_2 = ψ_1φ となる φ がある。
ここで、φ: [c, d] → R は C^1 級(>>325)の写像で、
t ∈ [c, d] のとき φ’(t) ＞ 0 であり、
a = φ(c)、b = φ(d) となる。

>>409より、[a, b] = φ([c, d]) である。

合成写像の微分(>>55と>>365と>>368)より、
各 t ∈ [a, b] において、(ψφ)’(t) = ψ’(φ(t))φ’(t)

これと１変数の積分の変数変換公式(>>407)より、
L_1 = ∫[a, b] |ψ’(t)| dt
= ∫[c, d] |ψ’(φ(t))|φ’(t) dt
= ∫[c, d] |ψ’(φ(t))φ’(t)| dt ← φ’(t) ＞ 0 より
= ∫[c, d] |(ψφ)’(t)| dt = L_2
証明終