命題(Cauchyの定理の特別な場合)
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とし、f: U → K を U 上の C^1 級の関数とする。
[a, b] と [c, d] を R の有限閉区間とし、S = [a, b]×[c, d] ⊂ U とする。
S の境界を C とする。
ここで、C は正の向き(反時計回り)にとる。

このとき、
∫[C] f(z) dz = 0

証明
f(z) = P(x, y) + iQ(x, y) とおく。
>>544より、
∫[C] f(z) dz = ∫[C] (Pdx - Qdy) + i∫[C] (Qdx + Pdy)

Cauchy-Riemannの関係式(>>482)より、P, Q は C^1 級である。
よって、Green の公式(>>475)が使えて、
∫[C] (Pdx - Qdy) = ∬[S] (-∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy
∫[C] (Qdx + Pdy) = ∬[S] (∂P/∂x - ∂Q/∂y) dxdy

Cauchy-Riemannの関係式(>>482)より、
∂P/∂x = ∂Q/∂y
∂P/∂y = -∂Q/∂x

よって、
∫[C] (Pdx - Qdy) = 0
∫[C] (Qdx + Pdy) = 0

よって、
∫[C] f(z) dz = 0
証明終