補題
F を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
U ⊂ F を開集合とし、ω を U 上の連続な１次微分形式(>>508)とする。
ψ: [a, b] → U を区分的に C^1 級のパラメータ付き曲線(>>486)とする。
a ＜ c ＜ b となる任意の c に対して ψ の [a, c] への制限を ψ_1 とし、
ψ の [c, b] への制限を ψ_2 とする。

このとき、
∫[ψ] ω = ∫[ψ_1] ω + ∫[ψ_2] ω である。

証明
定義(>>486)より、[a, b] の分点 a = t_0 ＜ t_1 ＜ . . . ＜ t_n = b があり、
ψ は各区間 [t_(i-1), t_i] で C^1 級(>>325)である。
ψ の定義域を [t_(i-1), t_i] に制限したものを φ_i とおく。
c ∈ [t_(k-1), t_k] となる k がある。

c = t_(k-1) または c = t_k の場合は命題の主張は明らかである。

よって、t_(k-1) ＜ c ＜ t_k と仮定する。
区間 [t_(k-1), t_k] は [t_(k-1), c] と [c, t_k] に分割され、
ψ は [t_(k-1), c] および [c, t_k] で C^1 級である。
よって、この場合も命題の主張は明らかである。
証明終