>>4の続き

U は凸だから任意の s ∈ [0, 1] 及び任意の t ∈ I と
任意の x, y ∈ U に対して、
φ(s) = f(t, x + s(y - x)) が定義出来る。

dφ/ds = (d_2)f(t, x + s(y - x))(y - x)

よって、任意の t ∈ I と任意の x, y ∈ U に対して、
|f(t, x) - f(t, y)| = |∫[0, 1] (d_2)f(t, x + s(y - x))(y - x) ds|
≦ ∫[0, 1] |(d_2)f(t, x + s(y - x))||y - x| ds
≦ C|y - x|

よって、f(t, x): I×U → E は>>462の条件を満たす。
よって、過去スレ015の462より、x_0 の近傍 V ⊂ U と t_0 を含む開区間 J ⊂ I があり、
各 x ∈ V に対して J から U への連続写像 t → g(t, x) で
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t)) の解であり g(t_0, x) = x となるものが
一意に存在する。

よって、過去スレ015の622より g: J×V → E は C^k 級である。
証明終