命題
K を実数体または複素数体とする。
F を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
U ⊂ F を開集合とし、f: U → K を連続写像とする。
ψ_1: [a, b] → U と ψ_2: [c, d] → U を
C^1 級のパラメータ付き曲線(>>434)とする。

ψ_1 ≡ ψ_2 (>>413)のとき ∫[ψ_1] f(x) dx = ∫[ψ_2] f(x) dx である。

証明
ψ_1 ≡ ψ_2 より、ψ_2 = ψ_1φ となる φ がある。
ここで、φ: [c, d] → R は C^1 級(>>325)の写像で、
t ∈ [c, d] のとき φ’(t) ＞ 0 であり、
a = φ(c)、b = φ(d) となる。

>>409より、[a, b] = φ([c, d]) である。
よって、>>483より
∫[ψ_1] f(x) dx = ∫[ψ_1φ] f(x) dx = ∫[ψ_2] f(x) dx
証明終