C を複素数体とする。
U ⊂ C を開集合とし、f: U → C を U 上の複素数値関数とする。
c ∈ U とし、f は c で微分可能(>>35)とする。
>>55より、f’(c) ∈ C が定まる。
u ≠ 0 のとき ρ(u) = (f(c + u) - f(c) - f’(c))/u とおく。
u → 0 のとき ρ(u) → 0 である。

f’(c) = α + βi、ρ(u) = ε_1(u) + iε_2(u)、u = h + ki とおく。
ρ(u)u = (ε_1(u) + iε_2(u))(h + ki)
= ε_1(u)h - ε_2(u)k + i(ε_2(u)h + ε_1(u)k)
よって、f(c + u) - f(c) - f’(c)u = ρ(u)u より、

P(c + u) - P(c) - (αh - βk) = ε_1(u)h - ε_2(u)k
Q(c + u) - Q(c) - (βh + αk) = ε_2(u)h + ε_1(u)k

u → 0 のとき ρ(u) → 0 であるから、
(h, k) → 0 のとき、ε_1(u) → 0 かつ ε_2(u) → 0 である。

|ε_1(u)h - ε_2(u)k|/|(h, k)|
≦ (|ε_1(u)| + |ε_2(u)|)(|h|/|(h, k)|)

よって、(h, k) → 0 のとき、|ε_1(u)h - ε_2(u)k|/|(h, k)| → 0
よって、(∂P/∂x)(c) = α、(∂P/∂y)(c) = -β

同様に (h, k) → 0 のとき、|ε_2(u)h + ε_1(u)k|/|(h, k)| → 0
よって、(∂Q/∂x)(c) = β、(∂Q/∂y)(c) = α

よって、
(∂P/∂x)(c) = (∂Q/∂y)(c)
(∂P/∂y)(c) = -(∂Q/∂x)(c)

これを Cauchy-Riemannの関係式と言う。