C を複素数体とする。
U ⊂ C を開集合とし、f: U → C を U 上の連続な複素数値関数とする。
ψ: [a, b] → U を C^1 級のパラメータ付き曲線(>>433)とする。
>>343により、f の ψ 上の積分 ∫[ψ] f(z) dz が定義される。

f(z) = P(z) + Q(z)i とする。
ここで、P, Q は U 上の実数値関数である。
ψ(t) = u(t) + v(t)i とする。

∫[ψ] f(z) dz = ∫[a, b] f(ψ(t))ψ’(t) dt
= ∫[a, b] (P(ψ(t)) + Q(ψ(t))i)(u’(t) + v’(t)i) dt
= ∫[a, b] (P(ψ(t))u’(t) - Q(ψ(t))v’(t)) dt
+ i∫[a, b] (P(ψ(t))v’(t) + Q(ψ(t))u’(t)) dt
= ∫[ψ] (Pdx - Qdy) + i∫[ψ] (Qdx + Pdy)

ここで ∫[ψ] (Pdx - Qdy) および ∫[ψ] (Qdx + Pdy) はそれぞれ
微分形式 Pdx - Qdy と Qdx + Pdy の ψ 上の積分(>>357)である。