次の命題を>>35の前に置いたほうがよかった。

命題
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414)をもつ可換体とする。
E を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。

このとき E の位相は離散ではない。

証明
K の絶対値は自明でないから 0 ＜ |α| ＜ 1 となる α ∈ K がある。
整数 n → ∞ のとき |α|^n → 0

x ≠ 0 を E の元とする。
任意の整数 n に対して (α^n)x ≠ 0 であり、
整数 n → ∞ のとき |(α^n)x| → 0

よって、E - {0} は閉集合でない。
よって、E の位相は離散ではない。
証明終