命題
>>414の関係 ψ_1 ≡ ψ_2 は同値関係である。

証明
推移律を証明すればよい。

[a, b] と [c, d] と [e, f] を実数体 R における有限区間とし、
ψ_1: [a, b] → M と ψ_2: [c, d] → M と ψ_3: [e, f] → M
を区分的に C^1 級の曲線(>>380)とし、

ψ_1 ≡ ψ_2
ψ_2 ≡ ψ_3
とする。

a = t_0 ＜ t_1 ＜ . . . ＜ t_n = b を [a, b] の分点とする。

Δ_1: c = s_0 ＜ s_1 ＜ . . . ＜ s_n = d と
Δ_2: c = u_0 ＜ u_1 ＜ . . . ＜ u_m = d を [c, d] の分点とする。

e = v_0 ＜ v_1 ＜ . . . ＜ v_m = f を [e, f] の分点とする。

ψ_1 は各 [t_(i-1), t_i] で C^1 級とし、
ψ_1 の [s_(i-1), s_i] への制限を ψ_(1, i) とする。

ψ_2 は各 [s_(i-1), s_i] で C^1 級とし、
ψ_2 の [s_(i-1), s_i] への制限を ψ_(2, i) ととする。
ψ_2 の [u_(j_1), u_j] への制限を φ_j とする。

ψ_3 は は各 [v_(j-1), v_j] で C^1 級とし、
ψ_3 は の [v_(j-1), v_j] への制限を ψ_(3, j) とする。

(続く)