補題
[a, b] と [c, d] を実数体 R における有限区間とし、
f: [c, d] → R を C^1 級(>>325)の写像で、
各 t ∈ [c, d] に対して f’(t) ＞ 0 であり、
a = f(c)、b = f(d) とする。

このとき、f は [c, d] から [a, b] への全単射であり、
その逆写像 g は C^1 級である。

証明
>>409の証明よりより、f は [c, d] から [a, b] への全単射である。
[c, d] はコンパクトであるから f は閉写像である。
よって、g は連続である。

s, s_0 ∈ [c. d] で s ≠ s_0 とする。
t = g(s)
t_0 = g(s_0)
とおく。

(g(s) - g(s_0))/(s - s_0) = (t - t_0)/(f(t) - f(t_0))
である。

g は連続であるから、s → s_0 のとき、t → t_0 である。
f’(t_0) ≠ 0 であるから両辺の有限な極限が存在し、
g’(s_0) = 1/f’(t_0) である。

よって、g は C^1 級である。